Pengertian Kaidah Pencacahan, Aturan Perkalian, dan Faktorial

1:36:00 PM


Berikut ini adalah materi lengkap tentang kaidah pencacahan :

A. Kaidah Pencacahan

 1. Aturan Perkalian

 Misalkan, dari 3 orang siswa, yaitu Algi, Bianda, dan Cahyadi akan dipilih untuk menjadi ketua kelas, sekretaris, dan bendahara dengan aturan bahwa seseorang tidak boleh merangkap jabatan pengurus kelas. Banyak cara 3 orang dipilih menjadi pengurus kelas tersebut akan dipelajari melalui uraian berikut. Amati Gambar 1.

Gambar 1. Aturan perkalian pemilihan pengurus kelas.
a. Untuk ketua kelas (K)

Posisi ketua kelas dapat dipilih dari 3 orang, yaitu Algi (A), Bianda (B), atau Cahyadi (C).

Jadi, posisi ketua kelas dapat dipilih dengan 3 cara.

b. Untuk Sekretaris (S)

Jika posisi ketua kelas sudah terisi oleh seseorang maka posisi sekretaris hanya dapat dipilih dari 2 orang yang belum terpilih menjadi pengurus kelas. 

Jadi, posisi sekretaris dapat dipilih dengan 2 cara.

c. Untuk Bendahara (H)

Jika posisi ketua kelas dan sekretaris sudah terisi maka posisi bendahara hanya ada satu pilihan, yaitu dijabat oleh orang yang belum terpilih menjadi pengurus kelas.

Jadi, posisi bendahara dapat dipilih dengan 1 cara.

Dengan demikian, banyak cara yang dilakukan untuk memilih 3 orang pengurus kelas dari 3 orang kandidat adalah :

3 × 2 × 1 = 6 cara.

Uraian tersebut akan lebih jelas apabila mengamati skema berikut.


Dari uraian tersebut, dapatkah Anda menyatakan aturan perkalian? Cobalah nyatakan aturan perkalian itu dengan kata-kata Anda sendiri.

Aturan Perkalian :

Misalkan,

• operasi 1 dapat dilaksanakan dalam n1 cara;
• operasi 2 dapat dilaksanakan dalam n2 cara;
• operasi k dapat dilaksanakan dalam nk cara.

Banyak cara k operasi dapat dilaksanakan secara berurutan adalah n = n1 × n2 × n3 ... × nk.

Contoh Soal 1 :

Berapa cara yang dapat diperoleh untuk memilih posisi seorang tekong, apit kiri, dan apit kanan dari 15 atlet sepak takraw pelatnas SEA GAMES jika tidak ada posisi yang rangkap? (Tekong adalah pemain sepak takraw yang melakukan sepak permulaan).

Jawaban :

• Untuk posisi tekong.

Posisi tekong dapat dipilih dengan 15 cara dari 15 atlet pelatnas yang tersedia.

• Untuk posisi apit kiri.

Dapat dipilih dengan 14 cara dari 14 atlet yang ada (1 atlet lagi tidak terpilih karena menjadi tekong).

• Untuk posisi apit kanan.

Cara untuk memilih apit kanan hanya dengan 13 cara dari 13 atlet yang ada (2 atlet tidak dapat dipilih karena telah menjadi tekong dan apit kiri).

Dengan demikian, banyak cara yang dilakukan untuk memilih posisi dalam regu sepak takraw adalah  15 × 14 × 13 = 2.730 cara.

Ingatlah :

Apabila terdapat n buah tempat yang akan diduduki oleh n orang, terdapat :

n × (n – 1) × (n – 2) × ... × 1 cara orang menduduki tempat tersebut.

2. Faktorial

Anda telah mempelajari, banyak cara yang dilakukan untuk memilih 3 orang pengurus kelas dari 3 orang kandidat adalah 3 × 2 × 1 = 6 cara.

Selanjutnya, 3 × 2 × 1 dapat dinyatakan dengan 3! (dibaca 3 faktorial). Jadi,

3! = 3 × 2 × 1 = 6

Dengan penalaran yang sama,

4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 4 × 3! = 4 × 6 = 24
5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5 × 4! = 5 × 24 = 120
6! = 6 × 5! = 6 × 120 = 720

Uraian tersebut memperjelas definisi berikut.

Definisi :

a. n! = n × (n – 1) × (n – 2) ... × 3 × 2 × 1, dengan n bilangan asli, untuk n ≥ 2.
b. 1! = 1
c. 0! = 1

Contoh Soal 2 :

Hitunglah :

a. 7!
b. 17! / 0!16!
c. 12! / 2!8!
d. 8! / 5!

Penyelesaian :
Contoh Soal 3 :

Nyatakan bentuk-bentuk berikut ke dalam faktorial:

a. 157 × 156 × 155 b. 8!(9 × 10) c. n(n – 1)(n – 2)

Penyelesaian :
Contoh Soal 4 :

3. Tentukan nilai n dari (n + 3)! = 10(n + 2)!

Pembahasan :

(n + 3)! = 10(n + 2)!
↔ (n +3)(n + 2)! = 10(n + 2)!

↔ n + 3 = 10 0

↔ n = 7
PERHATIAN :

( MOHON CANTUMKAN SUMBERNYA JIKA ADA YANG MAU COPAST )


Anda berpikir artikel kami bermanfaat ?

  • Dukung dengan mengklik tombol suka (FB Like) di bawah ini.
  • Bagikan artikel ini dengan mengklik tombol share dibawah ini.
  • Tinggalkan komentar anda, agar kami bersemangat membagikan info baru.

Mungkin Anda Suka Juga

0 comments

Terimakasih sudah berkunjung di Blog Matematika Online.

Galeri Foto