Konsep Variabel Acak dan Nilai Harapan E(x)

5:57:00 PM



Kamu telah belajar menghitung peluang kejadian saling bebas dan kejadian bersyarat. Namun, bagaimana cara kamu menentukan peluang suatu kejadian yang belum terjadi atau suatu kejadian yang terjadi pada waktu lampau atau kejadian yang tidak pasti? Pembahsan inilah yang disebut dengan konsep variabel acak.
Suatu variabel acak adalah fungsi bernilai nyata yang didefinisikan dalam ruang sampel dan rekan nilai numerik yang unik dengan masing-masing hasil dari percobaan acak.

Sebagai contoh, dalam suatu survei 100 orang diberi pertanyaan apakah mereka senang atau tidak senang dengan solusi masalah yang diberikan kepada mereka. Kamu dapat menulis'1' untuk senang dan '0' untuk tidak senang, ruang sampel untuk survei adalah 2 100.  Nilai ini terlalu besar. Oleh karenanya, kamu dapat menyatakan variabel Y = jumlah '0' ditulis. Ruang sampel Y adalah himpunan bilangan bulat {1,2,3,4……50} yang kurang dari 2100.
Dua jenis variabel random adalah sebagai berikut:
  • Variabel acak diskrit
  • Variabel acak kontinu
Variabel acak diskrit hanya membutuhkan bilangan yang dapat dihitung dari nilai-nilai yang berbeda seperti 0, 1, 2, 3.... Jika suatu variabel hanya membutuhkan sejumlah nilai unik, maka itu disebut variabel acak diskrit.
 Sebagai contoh,  sebuah koin dilempar sebanyak 20 kali. Variabel acak Y adalah banyaknya sisi gambar muncul. Y hanya dapat bernilai dari {0,1,2…..20}. Oleh karena itu, Y merupakan variabel acak diskrit. Suatu variabel acak diskrit berkaitan dengan distribusi peluang.
Variabel acak kontinu dapat mencakup himpunan bilangan tak terbatas dan tak dapat dihitung dari nilai yang mungkin.
Sebagai contoh, sebuah kipas angin digunakan sampai mati. Di sini, variabel acak Y adalah lama waktu kipas menyala dalam jam.  Y dapat mencakup nilai positif dan tidak terhitung. Oleh karena itu, Y merupakan variabel acak kontinu. Suatu variabel acak kontinu berkaitan dengan fungsi kepadatan peluang.
Singkatnya, suatu variabel acak memungkinkan kamu untuk menghubungan hasil percobaan ke fungsi numerik, sehingga menyederhanakan masalah.
******Variabel random adalah sebuah fungsi (pemetaan) yang menandai suatu hasil dari eksperimen sebagai suatu nilai numerik. Nilai numerik ini banyaknya dapat terhitung maupun tak hingga, tergantung eksperimen dan ruang sampelnya.
-  Variabel random kontinu adalah variabel random yang dapat mengambil tak hingga banyak nilai numerik.
-  Sebaliknya, variabel random diskrit adalah variabel random yang hanya dapat mengambil nilai sebanyak terhitung.
Contoh:
Tiga mobil dipilih secara acak dan setiap kategori memiliki mesin disel (D) atau tidak memiliki mesin disel (F). jika X (variabel acak) = jumlah mobil dengan mesin disel, daftarkan masing-masing hasil ke dalam S dan nilai X yang terkait.
Penjelasan:
Kamu harus memilih tiga mobil berdisel (D) dan tidak berdisel (F).
Karena jumlah mobil tidak disebutkan dan hanya tiga mobil yang dipilih, mobil yang terpilih adalah 2 mobil disel dan satu mobil tidak berdisel, tiga mobil disel dan nol mobil tidak berdisel, dan seterusnya. 
Oleh karena itu, semua hasil yang mungkin adalah:
S = { (D,D,D), (D,D,F), (D,F,F), (F,F,F), (D,F,D), (F,F,D), (F,D,F), (F,D,D) }
Sekarang, beri tanda '3' untuk hasil yang menunjukkan tiga mobil disel
        beri tanda '2' untuk hasil yang menunjukkan dua mobil disel
        beri tanda '1' untuk hasil yang menunjukkan satu mobil disel
        beri tanda '0' untuk hasil yang menunjukkan nol mobil disel
Oleh karena itu, variabel random X adalah                X = 3, 2, 1, 0, 2, 1, 1, 2


=======================================
Pada sesi kali ini kita akan belajar bagaimana membuat grafik dan belajar tentang grafik fungsi massa peluang (pmf = probability mass function)  yang berlaku pada variabel acak diskrit dan fungsi kepadatan probabilitas (pdf = probability density function) yang berlaku pada variabel acak kontinue.
Pertama, terdapat pasangan aturan untuk fungsi massa peluang.
1. Semua peluang pasti diantara 0 dan 1.
2. Jumlah total semua peluang sama dengan 1.

Contoh 1: Apakah berikut ini merupakan grafik fungsi massa peluang?
Tidak, grafik tersebut bukan merupakan fungsi massa peluang karena tidak memenuhi kedua syarat yang ada. Pertama, peluang mendapatkan 3 adalah –0.4 bukan nilai antara 0 sampai 1. Kedua, jumlah semua peluangnya adalah 0.8 bukan 1. 

Selanjutnya, diberikan himpunan kejadian atau bilangan, kita akan mencari cara untuk membentuk sebuah fungsi massa peluang. 

Contoh 2: Sebuah tas berisi 6 kelereng hijau, 4 kelereng oranye, 8 kelereng merah, 16 kelereng biru, dan 6 kelereng kuning. Bentuklah sebuah distribusi fungsi massa peluang. 
Pertama, kita akan menentukan peluang dari setiap hasil dengan membentuk tabel. Untuk menentukan peluang kita perlu mengambil banyaknya kajadian yang dicari dibagi jumlah semua kejadian. Sebagai contoh, untuk kelereng hijau, kita mempunyai 6 kelereng hijau dan jumlah semua kelereng adalah 6+4+8+16+ 6 = 40 kelereng. Sehingga peluang kelereng hijau adalah 6/40= 0,15 dst.


Warna
Jumlah
Peluang
Hijau
6
0,15
Oranye
4
0,10
Merah
8
0,20
Biru
16
0,40
Kuning
6
0,15
Total
40
1,00
Kita dapat melihat bahwa ternyata ini merupakan fungsi massa peluang karena semua peluang terletak diantara 0 dan 1 dan jumlah semua peluang adalah 1. 
Akhirnya, kita dapat menggunakan peluang di atas untuk mencari distribusi. 
Membaca peluang dari bagan ini sangat mudah. Sebagai contoh, jika kita mencari pepluang dari kelereng merah atau biru maka kita hanya perlu menghitung  0,2 + 0,4 = 0,66.
Kita telah mempelajari tentang variabel random (acak) dan penggunaannya. Meskipun demikian, bagaimana kita mencari mean dari variabel random yang merupakan bagian dari sebuah ruang sampel yang besar? Nilai harapan dari sebuah variabel random digunakan untuk menghitung mean dari variabel random. 
Dalam pelajaran ini kita akan mempelajari cara untuk
Menghitung nilai harapan dari variabel random; menjelaskannya sebagai mean (rata-rata) dari distribusi peluang.
Nilai harapan dari variabel random adalah rata-rata tertimbang atau nilai tengah dari semua nilai yang mungkin dari variabel random. Simbol dari nilai harapan adalah E(x) dan rumus untuk variabel random diskret adalah :
E(x) = x1P(1) + x2P(2) + ……… + xP(x)
Di mana variabel random X mengasumsikan nilai x1, x2…… x dengan peluang P(1), P(2)... P(x)
E(x) = ∑ xP(x) di mana x adalah jumlah dari nilai-nilainya, dihitung berdasarkan peluang yang bersangkutan
Nilai harapan dalam jangka lama berarti bahwa jika nilai random dari sebuah eksperimen dikumpulkan terus-menerus, maka mean sampel atau rata-ratanya menjadi lebih dekat ke nilai harapan. Ada kemungkinan nilai harapan yang diperoleh itu mustahil atau tidak ada di kehidupan nyata. Nilainya bisa jadi 3.7 manusia atau 4.5 anak. Nilai harapan hanya bergantung pada data yang digunakan untuk menghitungnya.
Nilai harapan digunakan ketika menghimpun sekelompok besar angka, seperti pada saat sensus. Dalam sebuah sensus tidak dibutuhkan angka (data) tunggal, tetapi kita membutuhkan sebuah rata-rata atau mean.
Contohnya, ketika sebuah dadu dilemparkan, peluang munculnya angka 1, 2, 3, 4, 5, 6 adalah 1/6.                                                                                      
Contoh:                                                                                       
Seseorang mempunyai asuransi mobil dari sebuah perusahaan yang dipilih secara acak. Misalkan X adalah jumlah pelanggaran tertulis yang dilakukan oleh orang tersebut selama kurun waktu 3 tahun. Data X dapat ditulis dalam tabel seperti di bawah ini.
(a)    Hitung E(X)
Penjelasan:
Soal yang diberikan adalah contoh dari variabel random diskret karena ada nilai yang terhingga dan berbeda (unik).
Berdasarkan rumus nilai harapan untuk variabel random diskret
E(x) = x1P(1) + x2P(2) + ……… + xP(x)
E(x) = 0 × 0.60 + 1 × 0.25 + 2 × 0.10 + 3 × 0.05
E(x) = 0 + 0.25 + 0.20 + 0.15
E(x) = 0.60

Dapat juga di download di sini

Artikel ini hasil ubah suai dari Quipper School.


PERHATIAN :

( MOHON CANTUMKAN SUMBERNYA JIKA ADA YANG MAU COPAST )


Anda berpikir artikel kami bermanfaat ?

  • Dukung dengan mengklik tombol suka (FB Like) di bawah ini.
  • Bagikan artikel ini dengan mengklik tombol share dibawah ini.
  • Tinggalkan komentar anda, agar kami bersemangat membagikan info baru.

Mungkin Anda Suka Juga

2 comments

Terimakasih sudah berkunjung di Blog Matematika Online.

Galeri Foto