Pengertian Kaidah Pencacahan, Aturan Perkalian, dan Faktorial
1:36:00 PM
Berikut ini adalah materi lengkap
tentang kaidah pencacahan :
A. Kaidah Pencacahan
1. Aturan Perkalian
Misalkan, dari 3 orang siswa, yaitu
Algi, Bianda, dan Cahyadi akan dipilih untuk menjadi ketua kelas, sekretaris,
dan bendahara dengan aturan bahwa seseorang tidak boleh merangkap jabatan
pengurus kelas. Banyak cara 3 orang dipilih menjadi pengurus kelas tersebut
akan dipelajari melalui uraian berikut. Amati Gambar 1.
 |
Gambar 1. Aturan perkalian pemilihan pengurus kelas.
|
a. Untuk ketua kelas (K)
Posisi ketua kelas dapat dipilih
dari 3 orang, yaitu Algi (A), Bianda (B), atau Cahyadi (C).
Jadi, posisi ketua kelas dapat
dipilih dengan 3 cara.
b. Untuk Sekretaris (S)
Jika posisi ketua kelas sudah terisi
oleh seseorang maka posisi sekretaris hanya dapat dipilih dari 2 orang yang
belum terpilih menjadi pengurus kelas.
Jadi, posisi sekretaris dapat
dipilih dengan 2 cara.
c. Untuk Bendahara (H)
Jika posisi ketua kelas dan
sekretaris sudah terisi maka posisi bendahara hanya ada satu pilihan, yaitu
dijabat oleh orang yang belum terpilih menjadi pengurus kelas.
Jadi, posisi bendahara dapat dipilih
dengan 1 cara.
Dengan demikian, banyak cara yang
dilakukan untuk memilih 3 orang pengurus kelas dari 3 orang kandidat adalah :
3 × 2 × 1 = 6 cara.
Uraian tersebut akan lebih jelas
apabila mengamati skema berikut.
Dari uraian tersebut, dapatkah Anda
menyatakan aturan perkalian? Cobalah nyatakan aturan perkalian itu dengan
kata-kata Anda sendiri.
Aturan Perkalian :
Misalkan,
• operasi 1 dapat dilaksanakan
dalam n1 cara;
• operasi 2 dapat dilaksanakan
dalam n2 cara;
• operasi k dapat dilaksanakan
dalam nk cara.
Banyak cara k operasi dapat
dilaksanakan secara berurutan adalah n = n1 × n2 × n3
... × nk.
Contoh Soal 1 :
Berapa cara yang dapat diperoleh
untuk memilih posisi seorang tekong, apit kiri, dan apit kanan dari 15 atlet
sepak takraw pelatnas SEA GAMES jika tidak ada posisi yang rangkap? (Tekong
adalah pemain sepak takraw yang melakukan sepak permulaan).
Jawaban :
• Untuk posisi tekong.
Posisi tekong dapat dipilih dengan
15 cara dari 15 atlet pelatnas yang tersedia.
• Untuk posisi apit kiri.
Dapat dipilih dengan 14 cara dari 14
atlet yang ada (1 atlet lagi tidak terpilih karena menjadi tekong).
• Untuk posisi apit kanan.
Cara untuk memilih apit kanan hanya
dengan 13 cara dari 13 atlet yang ada (2 atlet tidak dapat dipilih karena telah
menjadi tekong dan apit kiri).
Dengan demikian, banyak cara yang
dilakukan untuk memilih posisi dalam regu sepak takraw adalah 15 × 14 ×
13 = 2.730 cara.
Ingatlah :
Apabila terdapat n buah tempat yang
akan diduduki oleh n orang, terdapat :
n × (n – 1) × (n – 2) × ... × 1 cara
orang menduduki tempat tersebut.
2. Faktorial
Anda telah mempelajari, banyak cara
yang dilakukan untuk memilih 3 orang pengurus kelas dari 3 orang kandidat
adalah 3 × 2 × 1 = 6 cara.
Selanjutnya, 3 × 2 × 1 dapat
dinyatakan dengan 3! (dibaca 3 faktorial). Jadi,
3! = 3 × 2 × 1 = 6
Dengan penalaran yang sama,
4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 4 × 3! = 4 × 6
= 24
5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5 × 4! = 5
× 24 = 120
6! = 6 × 5! = 6 × 120 = 720
Uraian tersebut memperjelas definisi
berikut.
Definisi :
a. n! = n × (n – 1) × (n – 2) ... ×
3 × 2 × 1, dengan n bilangan asli, untuk n ≥ 2.
b. 1! = 1
c. 0! = 1
Contoh Soal 2 :
Hitunglah :
a. 7!
b. 17! / 0!16!
c. 12! / 2!8!
d. 8! / 5!
Penyelesaian :
Contoh Soal 3 :
Nyatakan bentuk-bentuk berikut ke
dalam faktorial:
a. 157 × 156 × 155 b. 8!(9 × 10) c.
n(n – 1)(n – 2)
Penyelesaian :
Contoh Soal 4 :
3. Tentukan nilai n dari (n + 3)! =
10(n + 2)!
Pembahasan :
(n + 3)! = 10(n + 2)!
|
↔ (n +3)(n + 2)! = 10(n + 2)!
|
↔ n + 3 = 10 0
|
|
↔ n = 7
|
PERHATIAN :
( MOHON CANTUMKAN SUMBERNYA JIKA ADA YANG MAU COPAST )
( MOHON CANTUMKAN SUMBERNYA JIKA ADA YANG MAU COPAST )
Anda berpikir artikel kami bermanfaat ?
- Dukung dengan mengklik tombol suka (FB Like) di bawah ini.
- Bagikan artikel ini dengan mengklik tombol share dibawah ini.
- Tinggalkan komentar anda, agar kami bersemangat membagikan info baru.
0 comments
Terimakasih sudah berkunjung di Blog Matematika Online.